Al hablar del concepto de Derivada es inevitable vincularlo con el concepto de limite.
Primero que todo tenemos que retomar cual es la ecuación de una recta en función de dos puntos conocidos (a,b) y (a',b') :
Como podemos ver el segundo término de la ecuación es a lo que llamamos la pendiente de la recta , y nos da la pendiente que tiene la recta respecto a la paralela al eje x.
Al tener una función f(x) y ambos puntos pertenecen a ella entonces estamos es calculando la ecuación de la recta secante (corta a la función en dos puntos) :
Por ende se afirma que:
Si a la hora de distanciar los dos puntos h se va haciendo cada vez más pequeña (h tiende a 0 ) obtendríamos una recta tangente (corta a la función en un solo punto)
La ecuación de la recta se da por:
Donde m es la pendiente y es igual a:
Finalmente a la pendiente o inclinacion de la linea recta tangente tiene como nombre derivada de la función en ese punto :
Si reemplazamos el punto x0 = 1 el resultado sera :
f '(1) = 2 · 1 = 2
Por ende la pendiente o inclinacion de la recta tangente es positiva y tiene un valor de 2 .
Que la inclinacion de la recta sea de signo positivo quiere decir que en ese punto la función es creciente , es decir , al aumentar la x aumenta la y .
¿En que podemos aplicar en concepto de derivada?
Si en el ejemplo anterior sustituimos el punto x0 = -1 obtendremos que
f '(-1) = 2 · (-1) = -2
En esta ocasion la pendiente es negativa contraria a la anterior por lo que la función en este punto es decreciente.
Al analizar todo el tema el valor de la derivada de esta función en un punto cualquiera , encontramos que si x0 es positivo , la derivada f '(x0) es positiva y por lo tanto la función es creciente y si el punto x0 es negativo la derivada f '(x0) es negativa y por lo tanto la función es decreciente .
¿Qué sucede en el punto x0 =0? Que no es crece ni decrece lo que pasa en este caso es que tenemos un mínimo ya que la función pasa de ser decreciente a la izquierda a creciente por la derecha.
En conclusión la aplicación de las derivadas es que nos puede servir para estudiar las diferentes funciones.fuente: http://www.terra.es/personal/ijic0000/deriv.htm
Ejercicios resueltos:
f(x) = 3x2 en x = 2.
f(x) = x2 + 4x − 5 en x = 1.
en x = 2.
en x = 3.
en x = 2.
Calcular derivada de f(x) = x2 − x + 1 en x = −1, x = o y x = 1.
f'(−1), f'(0) y f'(1).
f'(−1) = 2(−1) − 1 = −3
f'(0) = 2(0) − 1 = −1
f'(1) = 2(1) − 1 = 1
Calcular derivada de 
en x = −5.
en x = −5.Calcular derivada de 
en x = 1.
en x = 1. Calcular derivada de en x = 2.
en x = 2.Ejercicios de Tarea:
en x = 2. en x = 3. en x = 2. Fuente: http://www.vitutor.com/fun/4/e_e.html
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